Définition :
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\)
Soit \(B=(u_1,\ldots,u_n)\) une base de \(E\)
La base duale \(B^*=(v_1^*,\ldots,v_n^*)\) de \(B\) est définie par : $$\forall i\in[\![1,n]\!],\qquad u_j^*(u_i)=\delta_{i,j}=\begin{cases}1&&\text{si}\quad i=j\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$
Propriétés
Espace vectoriel
\(E^*\) est un espace vectoriel sur \({\Bbb K}\)
(Espace vectoriel)
Propriété :
Il existe un isomorphisme \(\varphi\) tel que $$\varphi:{{E}}\to {{E^*}}$$
Avec $$\varphi({{e_i}})={{\delta_{ij}=\begin{cases}1&\text{si}\quad i=j\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}}}\quad\text{ et }\quad\varphi\left({{\sum^n_{i=1}x_ie_i}}\right)={{\sum^n_{i=1}x_i\varepsilon_i}}$$
(Isomorphisme)
Notation
On note \(e_i^*\) les formes \(\{\varepsilon_i\}^n_{i=1}\) duales à \(\{e_i\}^n_{i=1}\)
Matrice de passage
Proposition :
Soient \(\mathcal V=\{v_1,\ldots,v_n\}\) et \(\varepsilon=\{e_1,\ldots,e_n\}\) deux bases de l'espace \(E\)
Si \(A=(a_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) est la matrice de passage de \(\varepsilon\) à \(\mathcal V\), alors \(^TA\) est la matrice de passage entre les bases duales de \(\mathcal V^*\) à \(\varepsilon^*\)
(Matrice de passage, Matrice transposée)
Corollaire :
Soient \(\mathcal V=\{v_1,\ldots,v_n\}\) et \(\varepsilon=\{e_1,\ldots,e_n\}\) deux bases de l'espace \(E\)
Si \(A=(a_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) est la matrice de passage de \(\varepsilon\) à \(\mathcal V\), alors \((^TA)^{-1}\) est la matrice de passage entre les bases duales de \(\mathcal V^*\) à \(\varepsilon^*\)
Taille (intuition)
Intuition derrière la taille d'un espace dual : $$E\text{ petit }\iff E^\prime\text{ gros}$$